*** Mouvement d'un ressort

Un ressort à spires est attaché à son extrémité fixe \(\text A\) .
On attache un mobile à son autre extrémité \(\text M\) .

On admet que l’abscisse du point \(\text M\) sur la droite  \((\text{O},\vec{i})\) vérifie l’équation différentielle du second ordre \((E) : y'' + 9y = 8\sin(t)\) , où \(y\) est une fonction du temps \(t\) (variable réelle positive).

1. Montrer que, pour tous réels \(A\)  et \(B\) , la fonction \(h\)  définie sur \([0~;+\infty[\)  par   \(h(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t)+\sin(t)\)  est solution sur  \([0~;+\infty[\) de \((E)\) .

2. On compresse le ressort, puis on le relâche. 
On suppose qu’à l’instant \(t = 0\) ,  le mobile passe en  \(\text O\) avec une vitesse de  \(4\) mètres par seconde.
Déterminer \(A\) et \(B\) pour que la fonction  \(h\)  définie ci-dessus soit la solution sur  \([0~;+\infty[\)  de l’équation \((E)\)   et qu'elle vérifie les conditions initiales : \(h(0) = 0\) et \(h'(0) = 4\) .

3. On admet dans cette question que \(\sin(3t) = -4\sin^3(t) + 3\sin(t)\) .
    a. Résoudre sur \([0~;~2\pi]\)  l'équation \(h(t)=0\) .
    b. En déduire les 4 premières valeurs de  \(t\)  pour lesquelles le mobile repasse par le point de départ \(\text{O}\) .